数学模型是如何描绘感染病的？别担忧，数学没学好也能看懂

在人类与感染病作战斗的冗长历程中，除了在一线救死扶伤的医师，还有1个特殊的群体为遏止疾病延伸做出了主要的奉献，那就是数学家。

在大多数人印象中，数学是抽象而艰涩的，仿佛和公共卫生完全搭不上关系。事实上，大家在面临感染病时碰到的问题，例如为甚麽接触过抱病者的人须要被隔离、疫情暴发1个月后有多少人被传染、拐点甚麽时候可能到来，都或多或少可以从数学模型的角度来做出预判妥协读。也正是依附数学家针对感染病抽象化的研发，人们针对感染病的传递形式和严重风险有了更为深刻的认知。

对感染病建模的历程

用数学模型研发感染病的作法，最早可以追溯到18时代初。当时候天花病毒正在暴虐欧洲，人们发掘东方传入的人痘接种术仿佛可能治愈这类疾病，但接种后仍有较高的灭亡率，这引发了大数学家丹尼尔·伯努利（Johann Bernoulli）的注重。伯努利是流体力学的祖师爷，同时也学过一点医学，据说了天花接种的疗法后，他便开始揣摩如何用数学去描绘天花的传递以及接种的作用。

数学家丹尼尔·伯努利 | Wikimedia Commons

受局限世纪，伯努利的思想较为朴实，他将人群分成传染者与未传染者，传染者既有能够治愈成为未传染者，也会因病灭亡。伯努利的高明之处在于，他参考了人的年纪也就是时间原因，假设疾病治愈率与研发人群的年纪段有关，以此创建了数学方程。

伯努利的模型相似于后来的SI模型是最为简洁的感染病模型之一 | 考虑资料[3]

经过一番计算研发，伯努利得出论断：虽然有绝对危害，人痘接种在统计上仍旧能让人的寿命延长3年左右。

固然以如今的目光看，伯努利的研发一点也不谨严，得出的论断也是显而易见的（接种疫苗有助于操控疾病传递），人痘接种术在牛痘疫苗显现后也几乎销声匿迹，但伯努利是第1个尝试用信息和方程去解析感染病传递形势、判定操控手段有效性的数学家，这类科学头脑在那个体类完全被感染病支配的世纪显得尤为宝贵，直到今日仍旧是用数学方式研发感染病的最根本想法。

牛痘疫苗为人类歼灭天花做出了主要奉献 | The Conversation

100多年后的20时代初，用数学模型研发感染病的方式（后来成长为一类叫“数理盛行病学”的学科）迎来了飞速成长，这较大程度上要归功于苏格兰军医麦肯德里克（Anderson Gray McKendrick）和生物化学家威廉·克马克（William Kermack）。

提出SIR模型的麦肯德里克和克马克 | 考虑资料[4]

麦肯德里克曾在印度退役，那时印度鼠疫横行，夺去了数十万人的生命。但是与大多数医师研讨医术不同，麦肯德里克居然“不务正业”，把许多心思放在了研发数学方程上，并发掘鼠疫的传染人数形势和数学的某类函数曲线十分相像。

从印度回国后，他与生物化学家威廉·克马克（William Kermack）协作，开始对鼠疫暴发的抱病人数、患者生存天数等信息进行解析，终极提出了数理盛行病学中里程碑式的模型：SIR模型。直到今日，绝大多数从数学角度解析感染病的研发都或多或少有这个模型的影子。

西班牙流感等感染病在20时代初暴虐世界 导致数以亿计的伤亡 | Wikimedia Commons

怎样用SIR模型描绘感染病？

SIR模型的根本概念并非难，纵然完全没学过数学也能看懂：

S代表Susceptible，易感者，也就是能够被感染但还没有传染的人；

I代表Infected，传染者，即已然被感染但尚未灭亡的人；

R代表Removed，移除者，他们有能够被传染后全好了，也有能够是因病灭亡。

固然还有1个样件人数不变的如果，也就是易感者+传染者+移除者的人数之和假设不变。

SIR模型表示图 | Perception Heallth

有了如此1个数学模型，咱们须要研发3个群体随时间的改变形势——例如说，第1天有了3个传染者，到了第10天会有多少人传染？因全好或灭亡形成的移除者又会有多少个？

为了求出不同人群与时间的关系式，数学家引入了一组微分方程。它看起来很高难，但这个唬人的玩意儿实质上妥协“2+x=4”是1个道理，数学家的任务就是解出这个高难方程里的S、I、R与时间t的关系函数。

SIR模型的数学方程 | 考虑资料[5]

微分方程解出来的结果不绝对能用数学式子来表示，通常来说咱们更习惯用以下如此的图片表示SIR模型的感染形势：横轴代表时间，纵轴代表群体的人数。你可以很直观的看见，I代表的传染者数目随时间快速增长，S代表的易感者对应变少，最终的结果是大部分被“移除”了（能够是治愈或者是病死），不再存在传染者。

SIR模型给出的传递形势 | 考虑资料[5]

SIR模型十分简单，计算得出的感染形势也在印度鼠疫的实例中获得了绝对程度的印证。但是SIR模型终于不过1个根基模型，它的缺点也是十分显著的——不少感染病存在埋伏期，传染后能够在一段时间内，身体都没有异样病症，而把人群区分为三类型号，没有参考群体内部的差别，例如传染者的埋伏期会因人而异；此外，部分传染者（含盖疑似传染者）确诊后会被隔离，感染别人的几率比本来减低了许多。

参考到这类原因，SIR模型诞生出了SEIR、C-SEIR等多个变种模型，进而能更为准确地描绘感染病的传递形势。通常来说，各类感染病都有相应的模型进行描绘，例如说HIV病毒，一经传染便终身带有感染性，相似于现在伯努利提出的SI模型；而像SARS和近日的新式冠状病毒，用SEIR模型来描绘它们的传递会更确切许多。

SEIR模型图示 E代表 Exposed 埋伏者 | 考虑资料[6]

数学建模的功效

说究竟，咱们为甚麽要想方设法搜到确切的数学模型来描绘感染病呢？最主要的1个原因是，咱们期望以此定量评价能够的传染人数和传染速率，而且解析出更为有效的防疫治疫手段。

在家隔离，是大家最近最熟识的防疫手段，如何用数学模型证实隔离能有效操控疫情传递呢？不妨如果有1个1000人的群体，此中有1个人不幸传染病毒后开始传递。在COSMOL等仿生软件里输入SIR模型的数学方程，可以获得下图的结果：未传染病毒的人数（蓝色曲线）不停下落，疫情在第5天到达顶峰，传染者数目（绿色曲线）到达总人数将近一半。

无隔离手段下，SIR模型对病毒传递的模仿结果 | 考虑资料[7]

但是，假设对80%的传染者采用隔离手段，也就是视为不再传染其余人的移除者（赤色曲线），获得的疫情形势图会爆发很显著的改变——疫情在第6天到达顶峰，传染者的数目只会有不到200人，显现了大幅下落，这也就从数学角度证实了乖乖宅在家里针对操控感染病的主要性。[7]

对80%传染者采用隔离手段后，SIR模型获得模仿结果 | 考虑资料[7]

数学模型也能对不同的疾病操控手段的成效进行评价。2013年埃博拉疫情在非洲暴发，英国开始对来自高危害国家的入境职员进行筛查。但是有队伍在创建数学模型后发掘，唯独7%的埃博拉传染者能够在国家边境被发掘，加上病毒埋伏期也较为长，病毒携带者早期能够并没有体现出所有病症，最有效的手段还是在病毒发祥地对传染者（以及疑似传染者）进行隔离来遏止病毒传递。正是通过如此的方法，数学模型在遏止感染病传递起到了越来越主要的功效。

考虑文献

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_modelling_of_infectious_disease

[3]https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-si.html

[4]http://devingaffney.com/when-physicists-talk-about-cat-gifs/

[5]Luz P M , Struchiner C J , Galvani A P , et al. Modeling Transmission Dynamics and Control of Vector-Borne Neglected Tropical Diseases[J]. PLoS Neglected Tropical Diseases, 2010, 4(10):e761.

[6]Audrey M. Dorélien, Ballesteros S , Grenfell B T . Impact of Birth Seasonality on Dynamics of Acute Immunizing Infections in Sub-Saharan Africa[J]. PLOS ONE, 2013, 8.

[7]https://cn.comsol.com/blogs/analyze-the-spread-of-epidemic-diseases-with-simulation/

[8]http://news.sciencenet.cn/dz/dznews_photo.aspx?t=&id=34011

作家：矩阵星